5. Lägesmått
Se gamla videon
Lägesmått
Om beslut ska tas på basis av ett statistiskt material bör vi känna till olika karaktäristikor för materialet. Karaktäristikorna delas in i två grupper: lägermått och spridningsmått. Lägesmåtten ger viktig information om hur värdena för variabeln ligger, t.ex. vilket värde som är det vanligaste, vilket värde som är det mittersta osv. Spridningsmåtten beskriver spridningen av variabelvärdena kring medelvärdet, t.ex. standardavvikelsen (vi tittar mera på dessa senare).
Lägesmåtten delas in i medelvärden och andra lägesmått. Medelvärdena beskriver variabelvärdenas genomsnittliga egenskaper, t.ex. det aritmetiska medelvärdet, typvärdet och medianen.
Typvärde (modus) Mo är det variabelvärde som har den största frekvensen (eller största relativa frekvensen), alltså det vanligaste förekommande värdet. Typvärdet är även den enda karaktäristikan som kan ha flera värden.
1, 1, 2, 2, 2, 3, 5, 5 ⇒ Mo=2
Medianen Md anger variabelvärdet för den mittersta observationen då observationerna är
ordnade i storleksordning.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ⇒ Md = 4
Om antalet statistiska enheter i materialet är stort, är det bäst att bestämma medianen med hjälp av de kumulerade relativa frekvenserna. Eftersom medianen är det mittersta värdet så är 50% av de observerade värdena mindre än medianen. Medianen är då det värde på variabeln för vilken den kumulerade relativa frekvensen första gången är åtminstone 50%.
Det vanligaste lägesmåttet är det aritmetiska medelvärdet x̄ , det är vad vi menar när vi till vardags pratar om medeltal eller medelvärde. Vi beräknar det aritmetiska medelvärdet genom att dela summan av variabelvärdena med totala antalet observationer (det totala antalet statistiska enheter).
Ibland kan medianen ge en bättre bild av materialet än medelvärdet, eftersom medelvärdet påverkas av s.k. outliers, värden som varierar kraftigt från resten av observationerna, t.ex. ett mycket större värde.
Det finns situationer då alla värden i det statistiska materialet inte är lika betydelsefulla. Då är det inte ändamålsenligt att beräkna det aritmetiska medelvärdet, istället beräknar vi det viktade medelvärdet. Här multipliceras varje värde med en vikt. Vikten är ett positivt tal som är större ju mera betydelsefullt värdet är.
Värdena för en variabel betecknas i olika beräkningsformler med 𝑥). Nedre indexet i används för att skilja variabelvärdena från varandra. I statistik beräknar vi ofta summan av olika tal. Eftersom antalet tal ofta är stort blir det komplicerat att skriva ut alla räkneoperationer synligt. Summan av tal betecknar vi kortare med summatecknet ∑ (sigma). Med summatecknet kan beräkningen av medelvärdet skrivas som:
Där 𝑥i är värdet för variabelvärde i och n är antalet statistiska enheter.
I allmänhet förekommer samma variabelvärde flera gånger i det statistiska materialet. Vi kan lägga till frekvensen i formeln så att:
Där k är antalet olika variabelvärden och 𝑓 är frekvensen för variabelvärdet.
Övningsuppgifter:
1. Månadslönerna i euro för en grupp med 12 personer ser ut så här:
2 000 5 000 4 500
3 000 4 500 6 000
1 800 3 500 5 500
3 000 3 000 4 000
Bestäm:
a) typvärde
b) median
c) medelvärde
1. Facit
1.
a) Typvärdet: 3 000
b) 1 800, 2 000, 3 000, 3 000, 3000, 3 500, 4 000, 4 500, 4 500, 5 000, 5 500, 6 000 Eftersom två världen är i mitten räknar vi medelvärdet av dessa för att få medianen: (3 500 + 4 000) / 2 = 3 750 €
c) 3816,67 €
2. Den årliga rörelsevinsten för ett företag (i miljoner euro) under åren 2010 – 2017 framgår ur tabellen nedan. Beräkna medelvärdet av rörelsevinsten under dessa år.
| 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
| 10 | 8 | 13 | 12 | 10 | 8 | 8 | 10 |
2. Facit
2.
9,875 miljoner €
3. Beräkna medelvärdet av det motsatta talet till talet -1 och det inverterade talet till talet 5.
(SE hösten 2015 kort, 1a)
3. Facit
3.
Det motsatta talet till talet -1 är –(-1) = 1 och det inverterade talet till talet 5 är 1/5. Summan av dessa två tal är 5/5 + 1/5 = 6/5
Vi delar detta med antalet termen, dvs. 2:
(6/5)/2 = 3/5 Svar: 3/5
4. Emilia avlagt 6 kurser i nationalekonomi (totalt 35 studiepoäng), och vill nu beräkna medelvärdet av vitsorden hon fått i kurserna. Kurserna har olika omfattning i studiepoäng, vilket hon bör beakta i sina beräkningar. Kursernas omfattning och vitsord ser ut så här:
| Kurs | Omfattning i studiepoäng | Vitsord, skala 1-5 |
| Grundkurs i mikroekonomi | 5 | 3 |
| Grundkurs i makroekonomi | 5 | 3 |
| Internationell ekonomi | 7 | 2 |
| Spelteori | 3 | 5 |
| Ekonometri | 10 | 4 |
| Globala utmaningar | 5 | 3 |
a) Vilket är det viktade medelvärdet av kursvitsorden?
b) Anta nu istället att alla kurser är värda 5 studiepoäng. Alla vitsord är de samma som i tabellen förutom vitsordet i kursen ”Ekonometri”, vad måste detta vitsord vara om det aritmetiska medelvärdet av kursernas vitsord är 3,5?
4. Facit
4.
a) Det viktade medelvärdet är ca. 3,26. (Du tar studiepoängen gånger vitsorden för varje kurs och adderar detta, sedan delar du allt med antalet studiepoäng)
b) Vi lägger in x istället för vitsordet i Ekonometri: 3 + 3 + 2 + 5 + x + 3) / 6 = 3,5 (16 + x) / 6 = 3,5
16 + x = 21
x =5
5. Medelvärdet av ett tal och talet i kvadrat är 15. Vilket är talet?
5. Facit
5.
Vi betecknar det sökta talet med x och talet i kvadrat med x^2. Vi ställer upp en ekvation:
(x + x^2) / 2 = 15 x + x^2 = 30
x^2 + x – 30 = 0
Vi kan nu lösa detta med lösningsformeln för en andragradsekvation. Vi lägger in a = 1, b = 1 och c = -30 på räknaren och får att det sökta talet är:
5 eller -6